120 
В 1738 году появились две части введения в арифметику на немецком языке, в 1739 году — новая теория музыки.
В конце 1740 года власть в России перешла в руки регентши Анны Леопольдовны и ее окружения. В столице сложилась тревожная обстановка. В это время прусский король Фридрих II задумал возродить основанное еще Лейбницем Общество наук в Берлине, долгие годы почти бездействовавшее. Через своего посла в Петербурге король пригласил Эйлера в Берлин. Эйлер, считая, что «положение начало представляться довольно неуверенным», приглашение принял.
В Берлине Эйлер поначалу собрал около себя небольшое ученое общество, а затем был приглашен в состав вновь восстановленной королевской Академии наук и назначен деканом математического отделения. В 1743 году он издал пять своих мемуаров, из них четыре по математике. Один из этих трудов замечателен в двух отношениях. В нем указывается на способ интегрирования рациональных дробей путем разложения их на частные дроби и, кроме того, излагается обычный теперь способ интегрирования линейных обыкновенных уравнений высшего порядка с постоянными коэффициентами.
Вообще большинство работ Эйлера посвящено анализу. Эйлер так упростил и дополнил целые большие отделы анализа бесконечно малых, интегрирования функций, теории рядов, дифференциальных уравнений, начатые уже до него, что они приобрели примерно ту форму, которая за ними в большой мере остается и до сих пор. Эйлер, кроме того, начал целую новую главу анализа — вариационное исчисление. Это его начинание вскоре подхватил Лагранж, и сложилась новая наука.
Доказательство Эйлера основной теоремы алгебры опубликовано в 1751 году в работе «Исследования о воображаемых корнях уравнений».
Эйлер выполнил наиболее алгебраическое доказательство теоремы. Позднее его основные идеи повторялись и углублялись другими математиками. Так, методы исследования уравнений получили развитие сначала у Лагранжа, а затем вошли составной частью в теорию Галуа.
Основная теорема состояла в том, что все корни уравнения принадлежат полю комплексных чисел. Для доказательства подобного положения Эйлер установил, что всякий многочлен с действительными коэффициентами можно разложить в произведение действительных линейных или квадратичных множителей.
Значения чисел, не являющиеся действительными, «Эйлер называл воображаемыми, — пишет Никифоровский, — и указывал, что обычно считают их такими, которые попарно в сумме и произведении дают действительные числа Следовательно, если воображаемых корней будет 2 т, то это даст т действительных квадратичных множителей в представлении многочлена. Эйлер пишет. „Поэтому говорят, что каждое уравнение, которое нельзя разложить на действительные простые множители, имеет всегда действительные множители второй степени. Однако никто, насколько я знаю, еще не доказал достаточно строго истинность этого мнения; я постараюсь поэтому дать ему доказательство, которое охватывает все без исключения случаи“.
Такой же концепции придерживались Лагранж, Лаплас и некоторые другие последователи Эйлера. Не согласен с ней был Гаусс.
Эйлер сформулировал три теоремы, вытекающие из свойств непрерывных функций.
1. Уравнение нечетной степени имеет по меньшей мере один действительный корень. Если таких корней больше одного, то число их нечетно.
2. Уравнение четной степени либо имеет четное число действительных корней, либо не имеет их совсем.
3. Уравнение четной степени, у которого свободный член отрицательный, имеет по меньшей мере два действительных корня разных знаков.
Вслед за этим Эйлер доказал теоремы о разложимости на линейные и квадратичные действительные множители многочленов с действительными коэффициентами…
При доказательстве основной теоремы Эйлер установил два свойства алгебраических уравнений: 1) рациональная функция корней уравнения, принимающая при всех возможных перестановках корней А различных значений, удовлетворяет уравнению степени А, коэффициенты которого выражаются рационально через коэффициенты данного уравнения; 2) если рациональная функция корней уравнения инвариантна (не меняется) относительно перестановок корней, то она рационально выражается через коэффициенты исходного уравнения».
П.С. Лаплас в лекциях по математике 1795 года, вслед за Эйлером и Лагранжем, допускает разложение многочлена на множители. При этом Лаплас доказывает, что они будут действительными.
120 
